Чем «умолять» отличается от «умалять» и почему в книгах иногда встречается слово «козаки»

Казаки/козаки.  Правилен первый вариант, с буквой А. Козак — это устаревший вариант написания. А еще иногда писатели используют его для создания национального колорита. Например, у Гоголя в «Тарасе Бульбе» можно встретить именно «козаков» — на украинский манер.

Есть и еще один вопрос, и он уже не связан с орфографией: куда все-таки ставить ударение — казакИ или казАки? Правильно — «казакИ», «казакОв». И только повесть Льва Толстого называют по-другому: «КазАки». 

Кампания/компания. В этой паре используются оба варианта, остается только контекстуально определить, в каких случаях нужна буква О, а в каких — А. Если речь идет о фирме, то выбираем О: компания. Или, например, о друзьях: веселая компания. О на А меняется только в одном случае: если речь идет о сумме каких-то мероприятий. Например, об избирательной или рекламной кампании. 

Умалять/умолять. Это два разных глагола. Умолять — слезно просить. Умалять — преуменьшать, от слов «малый», «маленький».  

Разлив/розлив. Вино в розлив или вино в разлив? Лингвисты говорят, что это так называемые орфографические дублеты. Но все-таки не совсем близнецы. Дело в том, что они различаются сферой употребления. Розлив — с ударением на О — это что-то вроде профессионального жаргонизма. Этот вариант употребляется именно в профессиональной среде, и на этикетках пишут: «розлив». А вот «разлив» — с ударением на И — общеупотребительное слово. Кстати, в таком виде оно употребляется и в переносном смысле: «Миллионеры нового разлива».

Сравнять/сровнять. Снова разные значения — разные буквы. Команды сравняли счет, то есть сделали его равным. А вот «ураган сровнял дом с землей» — тут проверочное слово «ровный». 

Разыскной/розыскной. В современном русском языке правильным считается вариант «разыскной», через А, хотя именно его многие считают неграмотным. Все потому, что раньше верным считался вариант написания этого слова через О: розыскной. Это прилагательное было своеобразным исключением, потому что согласно правилам приставки раз-/рас- пишутся, если находятся в безударной позиции, а роз-/рос- — если в ударной (розданный). При этом в нормативных словарях долгое время фиксировался именно вариант с О: розыскной. Позже это слово просто привели в соответствие с общим правилом.